2. 考研
  3. 以下4个命题 ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫一RRf(x)dx存在，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(

以下4个命题 ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫一RRf(x)dx存在，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(

admin2016-06-25  76
问题 以下4个命题
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫一RRf(x)dx存在，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(x)dx；
③若∫一∞+∞f(x)dx与∫一∞+∞g(x)dx都发散，则∫一∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；
④若∫一∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫一∞+∞f(x)dx未必发散．
正确的个数的    (    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案A
解析 ∫一∞+∞f(x)dx收敛←→存在常数a，使∫一∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时
    ∫一∞+∞f(x)dx=∫一∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．
    设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且∫一RRf(x)dx=0．但是
    ∫一∞0f(x)dx=∫一∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，
故∫一∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
    设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫一∞+∞f(x)dx与∫一∞+∞g(x)dx都发散，但∫一∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．
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考研数学二

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