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以下4个命题 ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫一∞+∞f(x)dx必收敛,且∫一∞+∞f(x)dx=0; ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且∫一RRf(x)dx存在,则∫一∞+∞f(x)dx必收敛,且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(
以下4个命题 ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫一∞+∞f(x)dx必收敛,且∫一∞+∞f(x)dx=0; ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且∫一RRf(x)dx存在,则∫一∞+∞f(x)dx必收敛,且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(
admin
2016-06-25
57
问题
以下4个命题
①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫
一∞
+∞
f(x)dx必收敛,且∫
一∞
+∞
f(x)dx=0;
②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且
∫
一R
R
f(x)dx存在,则∫
一∞
+∞
f(x)dx必收敛,且∫
一∞
+∞
f(x)dx=
∫
一R
R
f(x)dx;
③若∫
一∞
+∞
f(x)dx与∫
一∞
+∞
g(x)dx都发散,则∫
一∞
+∞
[f(x)+g(x)]dx未必发散;
④若∫
一∞
0
f(x)dx与∫
0
+∞
f(x)dx都发散,则∫
一∞
+∞
f(x)dx未必发散.
正确的个数的 ( )
选项
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案
A
解析
∫
一∞
+∞
f(x)dx收敛←→存在常数a,使∫
一∞
a
f(x)dx和∫
a
+∞
f(x)dx都收敛,此时
∫
一∞
+∞
f(x)dx=∫
一∞
a
f(x)dx+∫
a
+∞
f(x)dx.
设f(x)=x,则f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,且
∫
一R
R
f(x)dx=0.但是
∫
一∞
0
f(x)dx=∫
一∞
0
xdx=∞,∫
0
+∞
f(x)dx=∫
0
+∞
xdx=∞,
故∫
一∞
+∞
f(x)dx发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=一x,由上面讨论可知∫
一∞
+∞
f(x)dx与∫
一∞
+∞
g(x)dx都发散,但∫
一∞
+∞
[f(x)+g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题.故应选(A).
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考研数学二
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