以下4个命题 ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且∫一RRf(x)dx存在，则∫一∞+∞f(x)dx必收敛，且∫一∞+∞f(x)dx=∫一RRf(

admin2016-06-25 55

问题以下4个命题
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫_一∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_一∞^+∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且

∫_一R^Rf(x)dx存在，则∫_一∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_一∞^+∞f(x)dx=

∫_一R^Rf(x)dx；
③若∫_一∞^+∞f(x)dx与∫_一∞^+∞g(x)dx都发散，则∫_一∞^+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；
④若∫_一∞⁰f(x)dx与∫₀^+∞f(x)dx都发散，则∫_一∞^+∞f(x)dx未必发散．
正确的个数的 ( )

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案A

解析 ∫_一∞^+∞f(x)dx收敛←→存在常数a，使∫_一∞^af(x)dx和∫_a^+∞f(x)dx都收敛，此时
∫_一∞^+∞f(x)dx=∫_一∞^af(x)dx+∫_a^+∞f(x)dx．
设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

∫_一R^Rf(x)dx=0．但是
∫_一∞⁰f(x)dx=∫_一∞⁰xdx=∞，∫₀^+∞f(x)dx=∫₀^+∞xdx=∞，
故∫_一∞^+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫_一∞^+∞f(x)dx与∫_一∞^+∞g(x)dx都发散，但∫_一∞^+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．

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考研数学二

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