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  3. 若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay’+by=cex的解，求a，b，c及该方程的通解。

若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay’+by=cex的解，求a，b，c及该方程的通解。

admin2019-01-15  50
问题 若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay’+by=cex的解，求a，b，c及该方程的通解。
选项
答案方法一：将y=e2x+(x+1)ex及y’和y’’代入原方程比较系数得a=-3，b=2，c=-1。 方法二：由于y=e2x+(1+x)ex=e2x+ex+xex为原方程的解，由所给方程的非齐次项f(x)=cex知非齐次解中只会出现ex而不会出现e2x，则y1=e2x必为对应齐次方程的解。 xex与ex中，若xex是齐次解，λ=1为特征方程二重根，但λ=2已是一个根，故y2=ex为齐次方程解。 由齐次解y1=e2x，y2=ex知，齐次方程的特征方程为(λ-1)(λ-2)=0，即λ2-3λ+2=0，则齐次方程为y’’-3y’+2y=0。故a=-3，b=2。 将y=xex，y’=ex+xex，y’’=2ex+xex代入方程y’’-3y’+2y=cex得c=-1。 则所求方程的通解为y=C1ex+C2e2x+xex，其中C1，C2为任意常数。
解析
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考研数学三

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