若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay’+by=cex的解，求a，b，c及该方程的通解。

admin2019-01-15 79

问题若y=e^2x+(x+1)e^x是方程y^’’+ay^’+by=ce^x的解，求a，b，c及该方程的通解。

选项

答案方法一：将y=e^2x+(x+1)e^x及y^’和y^’’代入原方程比较系数得a=-3，b=2，c=-1。方法二：由于y=e^2x+(1+x)e^x=e^2x+e^x+xe^x为原方程的解，由所给方程的非齐次项f(x)=ce^x知非齐次解中只会出现e^x而不会出现e^2x，则y₁=e^2x必为对应齐次方程的解。 xe^x与e^x中，若xe^x是齐次解，λ=1为特征方程二重根，但λ=2已是一个根，故y₂=e^x为齐次方程解。由齐次解y₁=e^2x，y₂=e^x知，齐次方程的特征方程为(λ-1)(λ-2)=0，即λ²-3λ+2=0，则齐次方程为y^’’-3y^’+2y=0。故a=-3，b=2。将y=xe^x，y^’=e^x+xe^x，y^’’=2e^x+xe^x代入方程y^’’-3y^’+2y=ce^x得c=-1。则所求方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数。

解析

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考研数学三

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