若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay’+by=cex的解,求a,b,c及该方程的通解。

admin2019-01-15  46

问题 若y=e2x+(x+1)ex是方程y’’+ay+by=cex的解,求a,b,c及该方程的通解。

选项

答案方法一:将y=e2x+(x+1)ex及y和y’’代入原方程比较系数得a=-3,b=2,c=-1。 方法二:由于y=e2x+(1+x)ex=e2x+ex+xex为原方程的解,由所给方程的非齐次项f(x)=cex知非齐次解中只会出现ex而不会出现e2x,则y1=e2x必为对应齐次方程的解。 xex与ex中,若xex是齐次解,λ=1为特征方程二重根,但λ=2已是一个根,故y2=ex为齐次方程解。 由齐次解y1=e2x,y2=ex知,齐次方程的特征方程为(λ-1)(λ-2)=0,即λ2-3λ+2=0,则齐次方程为y’’-3y+2y=0。故a=-3,b=2。 将y=xex,y=ex+xex,y’’=2ex+xex代入方程y’’-3y+2y=cex得c=-1。 则所求方程的通解为y=C1ex+C2e2x+xex,其中C1,C2为任意常数。

解析
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