证明n阶行列式 =1-a+a2-a3+…+(-a)n． =1-a+a2-a3+…+(-a)2．

admin2018-06-27 73

问题证明n阶行列式

=1-a+a²-a³+…+(-a)ⁿ．
=1-a+a²-a³+…+(-a)²．

选项

答案记此行列式为D_n，对第1行展开，得到一个递推公式 D_n=(1-a)D_n-1+aD_n-2．方法一：下面用数学归纳法证明本题结论． (1)验证n=1，2时对： D₁=1-a，D_n=[*]=(1-a)²+a=1-a+a²． (2)假设对n-1和n-2结论都对，证明对n也对： D_n1=1-a+a²-a³+…+(-a)^n-1，D_n-2=1-a+a²-a³+…+(-a)^n-2，则由递推公式 D_n=(1-a)D_n-1+nD_n-2=D_n-1-a(D_n-1-D_n-2)=D_n-1+(-a)ⁿ =1-a+a²-a³+…+(-a)^n-1+(-a)ⁿ．方法二用数列的技巧计算． D_n=(1-a)D_n-1+aD_n-2改写为D_n-D_n-1=-a(D_n-1-D_n-2)，记H_n=D_n-D_n-1(n≥2)，则n≥3时H_n=-aH_n-1，即{H_n}是公比为-a的等比数列．而H₂=D₂-D₁=(1-a+a²)-(1-a)=a²，得到H_n=(-a)ⁿ，于是得到一个新的递推公式 D_n=D_n-1+(-a)ⁿ，再由D₁=1-a，用此递推公式不难得到D_n=1-a+aⁿ-a³+…+(-a)ⁿ．

解析

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考研数学二

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证明n阶行列式 =1-a+a2-a3+…+(-a)n． =1-a+a2-a3+…+(-a)2．

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