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证明n阶行列式 =1-a+a2-a3+…+(-a)n． =1-a+a2-a3+…+(-a)2．
证明n阶行列式 =1-a+a2-a3+…+(-a)n． =1-a+a2-a3+…+(-a)2．
admin
2018-06-27
42
问题
证明n阶行列式
=1-a+a
2
-a
3
+…+(-a)
n
．
=1-a+a
2
-a
3
+…+(-a)
2
．
选项
答案
记此行列式为D
n
，对第1行展开，得到一个递推公式 D
n
=(1-a)D
n-1
+aD
n-2
． 方法一：下面用数学归纳法证明本题结论． (1)验证n=1，2时对： D
1
=1-a，D
n
=[*]=(1-a)
2
+a=1-a+a
2
． (2)假设对n-1和n-2结论都对，证明对n也对： D
n1
=1-a+a
2
-a
3
+…+(-a)
n-1
，D
n-2
=1-a+a
2
-a
3
+…+(-a)
n-2
， 则由递推公式 D
n
=(1-a)D
n-1
+nD
n-2
=D
n-1
-a(D
n-1
-D
n-2
)=D
n-1
+(-a)
n
=1-a+a
2
-a
3
+…+(-a)
n-1
+(-a)
n
． 方法二 用数列的技巧计算． D
n
=(1-a)D
n-1
+aD
n-2
改写为D
n
-D
n-1
=-a(D
n-1
-D
n-2
)，记H
n
=D
n
-D
n-1
(n≥2)，则n≥3时H
n
=-aH
n-1
，即{H
n
}是公比为-a的等比数列．而H
2
=D
2
-D
1
=(1-a+a
2
)-(1-a)=a
2
，得到H
n
=(-a)
n
，于是得到一个新的递推公式 D
n
=D
n-1
+(-a)
n
， 再由D
1
=1-a，用此递推公式不难得到D
n
=1-a+a
n
-a
3
+…+(-a)
n
．
解析
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0
考研数学二
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