2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是ξ1=[1，一2，2]T，ξ2=[2，一5，3]T，ξ3=[2，1，5]T，β=[3，11，11]T．证明：β是A100的特征向量，并求对应的特征值．

设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是ξ1=[1，一2，2]T，ξ2=[2，一5，3]T，ξ3=[2，1，5]T，β=[3，11，11]T．证明：β是A100的特征向量，并求对应的特征值．

admin2014-04-16  64
问题 设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是ξ1=[1，一2，2]T，ξ2=[2，一5，3]T，ξ3=[2，1，5]T，β=[3，11，11]T．证明：β是A100的特征向量，并求对应的特征值．
选项
答案本题要证A100β=λβ，并求出其中的λ． 法一 利用A的特征值、特征向量反求A，再计算A100β，即可得出结果，请读者计算． 法二 将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出，设β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，即解方程组[*]将增广矩阵作初等行变换．[*]解得[x1，x2，x3]T=[1，一2，3]T，即β=ξ1一2ξ2+3ξ3．因Aξi=Aiξi，故A100ξi=λi100ξi,i=1，2，3．故A100β=A100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=(一2)100ξ1一2(一2)100ξ2+3(-2)100ξi=2100(ξ1一2ξ2+3ξ3)2100β得知β是A100的特征向量，且对应的特征值为2100．
解析
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考研数学二

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