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设A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=一2,λ3=2,对应的特征向量分别是ξ1=[1,一2,2]T,ξ2=[2,一5,3]T,ξ3=[2,1,5]T,β=[3,11,11]T.证明:β是A100的特征向量,并求对应的特征值.
设A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=一2,λ3=2,对应的特征向量分别是ξ1=[1,一2,2]T,ξ2=[2,一5,3]T,ξ3=[2,1,5]T,β=[3,11,11]T.证明:β是A100的特征向量,并求对应的特征值.
admin
2014-04-16
51
问题
设A是3阶矩阵,有特征值λ
1
=λ
2
=一2,λ
3
=2,对应的特征向量分别是ξ
1
=[1,一2,2]
T
,ξ
2
=[2,一5,3]
T
,ξ
3
=[2,1,5]
T
,β=[3,11,11]
T
.证明:β是A
100
的特征向量,并求对应的特征值.
选项
答案
本题要证A
100
β=λβ,并求出其中的λ. 法一 利用A的特征值、特征向量反求A,再计算A
100
β,即可得出结果,请读者计算. 法二 将β用ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性表出,设β=x
1
ξ
1
+x
2
ξ
2
+x
3
ξ
3
,即解方程组[*]将增广矩阵作初等行变换.[*]解得[x
1
,x
2
,x
3
]
T
=[1,一2,3]
T
,即β=ξ
1
一2ξ
2
+3ξ
3
.因Aξ
i
=A
i
ξ
i
,故A
100
ξ
i
=λ
i
100
ξ
i
,i=1,2,3.故A
100
β=A
100
(ξ
1
一2ξ
2
+3ξ
3
)=(一2)
100
ξ
1
一2(一2)
100
ξ
2
+3(-2)
100
ξ
i
=2
100
(ξ
1
一2ξ
2
+3ξ
3
)2
100
β得知β是A
100
的特征向量,且对应的特征值为2
100
.
解析
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考研数学二
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