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设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT. 求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.
设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT. 求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.
admin
2018-08-03
55
问题
设α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
为R
n
中的非零向量,方阵A=αα
T
.
求可逆矩阵P,使P
—1
AP为对角阵A.
选项
答案
A≠O.A
T
=A,1≤r(A)=r(αα
T
)≤r(α)=1,→r(A)=1,由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩.故矩阵A只有一个非零特征值,而有n—1重特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n—1
=0.A的属于特征值0的线性无关特征向瞳可取为(设a
1
≠0): ξ
1
=(一[*],1,0,…,0)
T
,ξ
2
=(一[*],0,1,…,0)
T
,…,ξ
n—1
=(一[*],0,0,….1)
T
;属于特征值λ
n
=[*]a
i
2
的特征值为α,令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
n—1
α],则有P
—1
AP=diag(0,0,…,0,[*]a
i
2
)对角阵.其中,λ
n
的求法可利用特征值的性质:λ
1
+λ
2
+…+λ
n—1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)[*]a
i
2
.
解析
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0
考研数学一
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