已知λ1=6，λ2=λ3=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ2=λ3=3的特征向量为a2=(-1，0，1)T，a3=(1，-2，1)T，求A对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．

admin2013-09-15 101

问题已知λ₁=6，λ₂=λ₃=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ₂=λ₃=3的特征向量为a₂=(-1，0，1)^T，a₃=(1，-2，1)^T，求A对应于λ₁=6的特征向量及矩阵A．

选项

答案这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵A的问题．关键在于利用已知条件中A为对称矩阵，而对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解．设A对应于λ₁=6的特征向量是a₁=[x₁，x₂，x₃]^T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有(a₁^T，a₂)=(a₁^T，a₃)=0，即[*] 解得a₁=x₂=x₃，取a₁：(1，1，1)^T，即是矩阵A属于λ₁=6的特征向量．进一步，由A(a₁，a₂，a₃)=(λ₁a₁，λ₂a₂，λ₃a₃)，得 [*]

解析

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考研数学二

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已知λ1=6，λ2=λ3=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ2=λ3=3的特征向量为a2=(-1，0，1)T，a3=(1，-2，1)T，求A对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．

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