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已知λ1=6，λ2=λ3=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ2=λ3=3的特征向量为a2=(-1，0，1)T，a3=(1，-2，1)T，求A对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．
已知λ1=6，λ2=λ3=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ2=λ3=3的特征向量为a2=(-1，0，1)T，a3=(1，-2，1)T，求A对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．
admin
2013-09-15
125
问题
已知λ
1
=6，λ
2
=λ
3
=3是实对称矩阵A的三个特征值．且对应于λ
2
=λ
3
=3的特征向量为a
2
=(-1，0，1)
T
，a
3
=(1，-2，1)
T
，求A对应于λ
1
=6的特征向量及矩阵A．
选项
答案
这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵A的问题．关键在于利用已知条件中A为对称矩阵，而对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解． 设A对应于λ
1
=6的特征向量是a
1
=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有(a
1
T
，a
2
)=(a
1
T
，a
3
)=0，即[*] 解得a
1
=x
2
=x
3
，取a
1
：(1，1，1)
T
，即是矩阵A属于λ
1
=6的特征向量． 进一步，由A(a
1
，a
2
，a
3
)=(λ
1
a
1
，λ
2
a
2
，λ
3
a
3
)，得 [*]
解析
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考研数学二
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