2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=（α1，α2，α3，α4），A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )

设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=（α1，α2，α3，α4），A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )

admin2017-10-12  36
问题 设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=（α1，α2，α3，α4），A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为(    )
选项 A、α1，α2，α3
B、α1+α2，α2+α3，α1+α3
C、α2，α3，α4
D、α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1
答案C
解析 方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r（A）=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r（A*）=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。
又A*（α1，α2，α3，α4）=A*A=|A|E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。将（1，0，2，0）T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。所以选C。
事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D也不正确。
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考研数学三

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