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  3. 设向量组A可由向量组B线性表示，且秩R(A)＝R(B)，证明向量组A与B等价．

设向量组A可由向量组B线性表示，且秩R(A)＝R(B)，证明向量组A与B等价．

admin2022-03-20  4
问题 设向量组A可由向量组B线性表示，且秩R(A)＝R(B)，证明向量组A与B等价．
选项
答案设秩R(A)＝R(B)＝r，且α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr分别是向量组A与B的极大线性无关组．由于向量组A可由向量组B线性表示，故α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表示，于是R(α1，α2，…αr，β1，β2，…，βr)＝R(β1，β2，…，βr)＝r． 又因α1，α2，…，αr线性无关，于是α1，α2，…，αr是向量组α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr的极大线性无关组，从而β1，β2，…，βr可由α1，α2，…αr线性表示，进而向量组B可由α1，α2，…，αr线性表示，即向量组B可由向量组A线性表示．又已知向量组A可由向量组B线性表示，所以向量组A与向量组B等价．
解析
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考研数学一

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