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  3. 设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．

设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．

admin2020-04-30  37
问题 设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．
选项
答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a-2． 对于特征值λ1=λ2=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量 α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T． 对于特征值λ3=a-2，可得对应的特征向量 α3=(-1，1，1)T． 令矩阵 [*] 则 [*] [*]
解析 本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质．由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．由可知只要求出对角矩阵P-1AP，就可以计算出｜A-E｜．
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考研数学一

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