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设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2-2bx1x3+2x2x3经过正交变换化3y12+3y22。 求a,b的值;
设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2-2bx1x3+2x2x3经过正交变换化3y12+3y22。 求a,b的值;
admin
2019-12-24
65
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+ax
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
-2bx
1
x
3
+2x
2
x
3
经过正交变换化3y
1
2
+3y
2
2
。
求a,b的值;
选项
答案
令A=[*],x=[*],则f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax,因为二次型经过正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
,所以矩阵A的三个特征值分别为λ
1
=3,λ
2
=3,λ
3
=0。根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和),特征值的乘积是矩阵行列式的值,有: λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+a=6,得a=2; λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=-2(b+2)(b-1)=0,得b=-2或b=1。 因为当b=-2时,A=[*],因为 |3E-A|=[*]=-9≠0, 所以a=2,b=1。
解析
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考研数学三
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