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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋ax22＋2x32＋2x1x2－2bx1x3＋2x2x3经过正交变换化3y12＋3y22。 求a，b的值；

设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋ax22＋2x32＋2x1x2－2bx1x3＋2x2x3经过正交变换化3y12＋3y22。 求a，b的值；

admin2019-12-24  40
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋ax22＋2x32＋2x1x2－2bx1x3＋2x2x3经过正交变换化3y12＋3y22。
求a，b的值；
选项
答案令A＝[*]，x＝[*]，则f(x1，x2，x3)＝xTAx，因为二次型经过正交变换化为3y12＋3y22，所以矩阵A的三个特征值分别为λ1＝3，λ2＝3，λ3＝0。根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，有： λ1＋λ2＋λ3＝4＋a＝6，得a＝2； λ1λ2λ3＝｜A｜＝－2(b＋2)(b－1)＝0，得b＝－2或b＝1。 因为当b＝－2时，A＝[*]，因为 ｜3E－A｜＝[*]＝－9≠0， 所以a＝2，b＝1。
解析
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考研数学三

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