设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

admin2020-04-30 69

问题设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

选项

答案设F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续．由于0＜f(x)＜1，所以 F(0)=f(0)＞0，F(1)=f(1)-1＜0，由介值定理知，在(0，1)内至少存在一点ξ，使F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ．假设有两个x₁，x₂∈(0，1)，且x₁≠x₂，使F(x₁)=F(x₂)=0，则由罗尔定理，存在η∈(0，1)，使f’(η)=f’(η)-1=0，这与f’(x)≠1矛盾，故f(x)=x有且仅有一个实根．

解析

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考研数学一

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