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(09年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a). (Ⅱ)证明:若函数f(χ)在χ=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f′(χ)=
(09年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a). (Ⅱ)证明:若函数f(χ)在χ=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f′(χ)=
admin
2021-01-25
84
问题
(09年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
(Ⅱ)证明:若函数f(χ)在χ=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
f′(χ)=A,则f′
+
(0)存在,且f′
+
(0)=A.
选项
答案
(Ⅰ)取F(χ)=f(χ)=-[*](χ-a), 由题意知F(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 [*] 根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=f′(ε)-[*]=0,即 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a). (Ⅱ)对于任意的t∈(0,ξ),函数f(χ)在[0,t]上连续,在(0,t)内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理 [*], 其中ξ∈(0,)t. 由于[*]f′(t)=A,且当t→0
+
时,ξ→0
+
,所以[*]f′(ξ)=A,故f′
+
(0)存在,且f′
+
(0)=A.
解析
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考研数学三
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