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设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ=0和(Ⅱ)An+1χ=0,现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ=0和(Ⅱ)An+1χ=0,现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
admin
2020-03-02
48
问题
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)A
n
χ=0和(Ⅱ)A
n+1
χ=0,现有四个命题
(1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;
(2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;
(3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解;
(4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
以上命题中正确的是( )
选项
A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(3)(4)
D、(2)(3)
答案
A
解析
若A
n
α=0,则A
n+1
α=A(A
n
α)=A0=0,即若α是(Ⅰ)的解,则α必是(Ⅱ)的解,可见命题(1)正确.
如果A
n+1
α=0,而A
n
α≠0,那么对于向量组α,A
1
α,A
2
α,…,A
n
α,一方面有:
若kα+k
1
A
1
α+k
2
A
2
α+…+k
n
A
n
α=0,用A
n
左乘上式的两边,并把A
n+1
α=0,A
n+2
α=0…代入,得
kA
n
α=0.
由A
n
α≠0而知必有k=0.类似地用A
n-1
左乘可得k
1
=0.因此,α,A
1
α,A
2
α,…,A
n
α线性无关.
但另一方面,这是n+1个n维向量,它们必然线性相关,两者矛盾.故A
n+1
α=0时,必有A
n
α=0,即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解.因此命题(2)正确.
所以应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KDS4777K
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考研数学一
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