三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

admin2018-11-11 59

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形

，且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

，求此二次型．

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为[*]，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-2．由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=-2的特征向量．令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有[*]=0，即x₁+x₂=0故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为[*] 令P=(α₂，α₃，α₁)=[*]

解析

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