2. 考研
  3. 设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为λt的泊松分布，时间以周计，λ＞0，(1)设T为两次地震之间的间隔时间，求T的概率分布；(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率；(3)求连续8周无地震的条件下，在未来7周内仍无地震的概率．

设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为λt的泊松分布，时间以周计，λ＞0，(1)设T为两次地震之间的间隔时间，求T的概率分布；(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率；(3)求连续8周无地震的条件下，在未来7周内仍无地震的概率．

admin2016-01-11  49
问题 设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为λt的泊松分布，时间以周计，λ＞0，(1)设T为两次地震之间的间隔时间，求T的概率分布；(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率；(3)求连续8周无地震的条件下，在未来7周内仍无地震的概率．
选项
答案(1)由已知条件，X服从参数为λt的泊松分布，其概率分布为 P{X=k}=[*]，k=0，1，2，…． 设T的分布函数为FT(t)=P{T≤t}，t≥0． 当t＜0时，FT(t)=0； 当t≥0时，在一次地震后的时间t内无地震的事件可表示为P{T＞t}=P{X=0}=e-λt，T的分布函数FT(t)=P{T≤t}=1—P{T＞t)}=1—e-λt，综上， [*] (3)所求概率为P{T≥15｜T＞8}=P{T≥7}=1-P{T＜7}=e-7λ． 注：指数分布的无记忆性：如果X服从参数为λ的指数分布，则对于任意实数s，t＞0，有P{T＞s+t｜T＞s}=P{T＞t}．
解析 主要考查指数分布及其无记忆性．可由T的分布函数的定义式P{T≤t}着手．求T的分布函数的实质是计算事件{T≤t}的概率，关键是找到发生地震的次数X与T的联系．
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考研数学二

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