设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为λt的泊松分布,时间以周计,λ>0,(1)设T为两次地震之间的间隔时间,求T的概率分布;(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率;(3)求连续8周无地震的条件下,在未来7周内仍无地震的概率.

admin2016-01-11  43

问题 设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为λt的泊松分布,时间以周计,λ>0,(1)设T为两次地震之间的间隔时间,求T的概率分布;(2)求相邻两周内至少发生三次地震的概率;(3)求连续8周无地震的条件下,在未来7周内仍无地震的概率.

选项

答案(1)由已知条件,X服从参数为λt的泊松分布,其概率分布为 P{X=k}=[*],k=0,1,2,…. 设T的分布函数为FT(t)=P{T≤t},t≥0. 当t<0时,FT(t)=0; 当t≥0时,在一次地震后的时间t内无地震的事件可表示为P{T>t}=P{X=0}=e-λt,T的分布函数FT(t)=P{T≤t}=1—P{T>t)}=1—e-λt,综上, [*] (3)所求概率为P{T≥15|T>8}=P{T≥7}=1-P{T<7}=e-7λ. 注:指数分布的无记忆性:如果X服从参数为λ的指数分布,则对于任意实数s,t>0,有P{T>s+t|T>s}=P{T>t}.

解析 主要考查指数分布及其无记忆性.可由T的分布函数的定义式P{T≤t}着手.求T的分布函数的实质是计算事件{T≤t}的概率,关键是找到发生地震的次数X与T的联系.
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