2. 考研
  3. (08)设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

(08)设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2019-03-21  103
问题 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．
选项
答案(Ⅰ)记Dn=｜A｜，以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an． 当n=1时，D1=2a，结论成立；当n=2时， D2=[*]=3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将Dn按第1行展开，得 Dn=2aDn-1=[*] =2aDn-1-a2Dn-2 (代入归纳假设Dk=(k+1)(ak，k＜n) =2anan-1-a2(n-1)an-2=(n+1)an 故｜A｜=(b+1)an． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将Dn第1列换成b，得行列式 [*] =Dn-1=nan-1 所以，x1=[*] (Ⅲ)当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，…，0)T+k(1，0，0，…，0)T 其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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