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设A,B为n阶正定矩阵,下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ).
设A,B为n阶正定矩阵,下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ).
admin
2021-07-27
18
问题
设A,B为n阶正定矩阵,下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ).
选项
A、AB
B、A+B
C、A
-1
+B
-1
D、3A+2B
答案
A
解析
从题型特点观察,本题主要是从正定矩阵的运算角度判断矩阵的正定性问题.相关结论是,首先,若矩阵A正定,则其逆矩阵A
-1
,伴随矩阵A
*
。幂矩阵A
m
也一定是正定矩阵,这一点可以从两个方面进行验证说明:一是对称性判断,由A对称可推出A
-1
,A
*
,A
m
对称;二是判断A
-1
,A
*
,A
m
的特征值与A的特征值在符号上的一致性,对于A的特征值λ(>0),可以确定A
-1
,A
*
,A
m
对应的特征值为1/λ,|A|/λ,λ
m
与λ符号一致.其次,若A,B为正定矩阵,可以证明它们的和式aA+bB(a,b>0)也一定是正定的.综上分析,选项(B),(C),(D)均正确,由排除法,故选(A).实际上,由于A,B不一定可交换,AB不对称,所以AB为非正定矩阵.这也说明,矩阵的对称性是矩阵正定的必要条件,不可忽略.但许多考生不注意这一点,出错率较高.
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考研数学二
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