设A，B为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )．

admin2021-07-27 18

问题设A，B为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )．

选项 A、AB
B、A+B
C、A^-1+B^-1
D、3A+2B

答案A

解析从题型特点观察，本题主要是从正定矩阵的运算角度判断矩阵的正定性问题．相关结论是，首先，若矩阵A正定，则其逆矩阵A^-1，伴随矩阵A^*。幂矩阵A^m也一定是正定矩阵，这一点可以从两个方面进行验证说明：一是对称性判断，由A对称可推出A^-1，A^*，A^m对称；二是判断A^-1，A^*，A^m的特征值与A的特征值在符号上的一致性，对于A的特征值λ(＞0)，可以确定A^-1，A^*，A^m对应的特征值为1/λ，｜A｜/λ，λ^m与λ符号一致．其次，若A，B为正定矩阵，可以证明它们的和式aA+bB(a，b＞0)也一定是正定的．综上分析，选项(B)，(C)，(D)均正确，由排除法，故选(A)．实际上，由于A，B不一定可交换，AB不对称，所以AB为非正定矩阵．这也说明，矩阵的对称性是矩阵正定的必要条件，不可忽略．但许多考生不注意这一点，出错率较高．

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考研数学二

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