设0＜x＜1，求证：其中n为自然数．

admin2019-02-20 56

问题设0＜x＜1，求证：

其中n为自然数．

选项

答案令f(x)=nxⁿ(1－x)(x∈[0，1])，则 f’(x)=n[nx^n-1(1－x)－xⁿ]=nx^n－1[n(1－x)－x]=nx^n－1[n－(n+1)x． f(x)在(0，1)有唯一驻点[*] 又f(0)=f(1)=0，f(x_n)＞0，所以f(x)在x=x_n取到(0，1)上的最大值： [*] 注意[*]单调减少，且[*]于是对n=1，2，3，…有 [*] 从而[*]即当0＜x＜1时对n=1，2，3，…有[*]

解析

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考研数学三

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