已知向量组α1，α2，…，αn的秩为r2，在其中任取m个向量β1，β2，…，βm，此向量组的秩为r1，证明r1≥r2+m一n．

admin2020-09-25 59

问题已知向量组α₁，α₂，…，α_n的秩为r₂，在其中任取m个向量β₁，β₂，…，β_m，此向量组的秩为r₁，证明r₁≥r₂+m一n．

选项

答案向β₁，β₂，…，β_m中添加余下的n一m个向量中的一个向量β_m+1向量组β₁，β₂，…，β_m，β_m+1的最大无关组的向量个数最多比向量组β₁，β₂，…，β_m的最大无关组的向量个数大1，即R(β₁，β₂，…，β_m，β_m+1)≤1+R(β₁，β₂，…，β_m)．继续下去可得：R(β₁，β₂，…，β_n)≤n—m+R(β₁，β₂，…，β_m)，即r₂≤r₁+n一m，此即r₁≥r₂+m一n.

解析

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考研数学三

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