2. 考研
  3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y一N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=________．

设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y一N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=________．

admin2020-03-18  48
问题 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y一N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=________．
选项
答案[*]
解析 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以Z=一2X+3Y+5服从正态分布，要求f(z)=，则需确定参数μ与σ的值，又E(Z)=μ，D(Z)=σ2，因此归结为求E(Z)与D(Z)，根据数学期望和方差的性质及
E(X)=1，D(X)=2，  E(Y)=一3，D(Y)=4，
可得 E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5=(一2)×1+3×(一3)+5=一6，
D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44．
因此Z的概率密度为f(z)=，z∈R．
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考研数学三

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