2. 考研
  3. 设曲线L的极坐标方程为r＝r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．

设曲线L的极坐标方程为r＝r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．

admin2021-11-09  73
问题 设曲线L的极坐标方程为r＝r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．
选项
答案曲边扇形的面积公式为S＝[*]∫0θr2(θ)dθ．又弧微分ds＝[*]，于是由题设有 [*] 两边对θ求导，即得r2(θ)＝[*]所以r所满足的微分方程为 [*] (它与原方程等价，在(*)式中令θ＝0等式自然成立，不必另加条件．) 注意到[*]＝±θ＋C为方程的通解，再由条件r(0) ＝2，可知C＝－π／6，所以曲线L的方程为rsin([*]±θ)＝1．
解析
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考研数学二

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