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证明曲线:x=aetcost,y=aetsint,z=aet与锥面S:x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
证明曲线:x=aetcost,y=aetsint,z=aet与锥面S:x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
admin
2018-11-21
25
问题
证明曲线
:x=ae
t
cost,y=ae
t
sint,z=ae
t
与锥面S:x
2
+y
2
=z
2
的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
选项
答案
曲线[*]的参数方程满足x
2
+t
2
=z
2
,于是[*]上任一点(x,y,z)处的母线方向l={x,y,z},切向量 τ={x’,y’,z’}={ae
t
(cost—sint),ae
t
(cost+sint),ae
t
}={x一y,x+y,z}. 因此 [*] 即曲线[*]与锥面S的各母线相交的角度相同.
解析
先求
的切向量τ={x’(t),y’(t),z’(t)}以及锥面上点(x,y,z)的母线方向,即它与锥的顶点(0,0,0)的连线方向l=(x,y,z),最后考察cos〈τ,l〉.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kdg4777K
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考研数学一
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