设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足至少存在一点ξ∈(0,1），使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)

admin2022-09-05 122

问题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足

至少存在一点ξ∈(0,1），使得f’(ξ)=(1－ξ^-1)f(ξ)

选项

答案[*] 令F(x)=xe^1-xf(x),则 F(1)=f(1)=F(η),故F(x)在[η,1]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理得，至少存在一点ξ∈(η,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e^1－ξf(ξ)－ξe^1-ξf(ξ)+ξe^1-ξf’(ξ)=0 因e^1-ξ＞0,上式也就是(1－ξ)f(x)+ξf’ (ξ)=0,即 f’ (ξ)=(1－ξ^-1 )f(ξ).

解析

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考研数学三

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设f(x)二阶可导，＝1且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．
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