设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)

admin2022-09-05  67

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足

至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)

选项

答案[*] 令F(x)=xe1-xf(x),则 F(1)=f(1)=F(η),故F(x)在[η,1]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,至少存在一点ξ∈(η,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e1-ξf(ξ)-ξe1-ξf(ξ)+ξe1-ξf’(ξ)=0 因e1-ξ>0,上式也就是(1-ξ)f(x)+ξf’ (ξ)=0,即 f’ (ξ)=(1-ξ-1 )f(ξ).

解析
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