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若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是数量矩阵.
若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是数量矩阵.
admin
2020-03-05
44
问题
若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是数量矩阵.
选项
答案
因为任一n维非零向量都是A的特征向量,所以A有n个线性无关的特征向量,从而A可以对角化. 特别地,n维单位向量e
i
=(0,…,1,…,0)
T
,i=1,2,…,n,是A的特征向量. 令P=(e
1
,e
2
,…,e
n
),则有P=E,且 [*] 若A的特征值λ
1
≠λ
2
,则由于e
1
,e
2
分别是λ
1
,λ
2
的特征向量,那么e
1
+e
2
不再是A的特征向量,这与已知条件“任一非零向量都是特征向量”相矛盾,同理可知λ
1
=λ
2
=…=λ
n
,即A是数量矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KfS4777K
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考研数学一
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