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  3. 若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵．

若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵．

admin2020-03-05  31
问题 若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵．
选项
答案因为任一n维非零向量都是A的特征向量，所以A有n个线性无关的特征向量，从而A可以对角化． 特别地，n维单位向量ei=(0，…，1，…，0)T，i=1，2，…，n，是A的特征向量． 令P=(e1，e2，…，en)，则有P=E，且 [*] 若A的特征值λ1≠λ2，则由于e1，e2分别是λ1，λ2的特征向量，那么e1+e2不再是A的特征向量，这与已知条件“任一非零向量都是特征向量”相矛盾，同理可知λ1=λ2=…=λn，即A是数量矩阵．
解析
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考研数学一

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