若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵．

admin2020-03-05 52

问题若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵．

选项

答案因为任一n维非零向量都是A的特征向量，所以A有n个线性无关的特征向量，从而A可以对角化．特别地，n维单位向量e_i=(0，…，1，…，0)^T，i=1，2，…，n，是A的特征向量．令P=(e₁，e₂，…，e_n)，则有P=E，且 [*] 若A的特征值λ₁≠λ₂，则由于e₁，e₂分别是λ₁，λ₂的特征向量，那么e₁+e₂不再是A的特征向量，这与已知条件“任一非零向量都是特征向量”相矛盾，同理可知λ₁=λ₂=…=λ_n，即A是数量矩阵．

解析

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