2. 考研
  3. 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： =∫C(Pcosα+Qcosβ)ds， 其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量． (Ⅱ

设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： =∫C(Pcosα+Qcosβ)ds， 其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量． (Ⅱ

admin2018-11-21  77
问题 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)．
(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：
    =∫C(Pcosα+Qcosβ)ds，
其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量．
(Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D有连续的二阶偏导数，求证：

(Ⅲ)设u(x，y)在D有连续的二阶偏导数且满足

求证：u(x，y)=0((x，y)∈D)．
选项
答案(Ⅰ)将格林公式 [*]=Pdx+Qdy 中Q换成P，P换成一Q，得 [*]=∫CPdy—Qdx． 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos<τ，j>一Qcos<τ，i>]ds， 其中τ是C的单位切向量且沿C的方向．注意<τ，j>=，<τ，i>=π一． 于是Pdy—Qdx=∫C[Pcos+Qcos]ds=fc(Pcosα+Qcosβ)ds． 因此证得结论． (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*]． 再由格林公式的另一种形式(即题(Ⅰ)的结论)得 [*] 再移项即得证． (Ⅲ)因u(x，y)｜C=0，要证u(x，y)≡0((x，y)∈D)，只需证[*]=0((x，y)∈D)．在(10．7) 式中取v(x，y)=u(x，y)，得 [*]
解析
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考研数学一

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