设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18). (Ⅰ)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式: =∫C(Pcosα+Qcosβ)ds, 其中n=(cosα,cosβ)是C的单位外法向量. (Ⅱ

admin2018-11-21  25

问题 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18).
(Ⅰ)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式:
    =∫C(Pcosα+Qcosβ)ds,
其中n=(cosα,cosβ)是C的单位外法向量.
(Ⅱ)设u(x,y),v(x,y)在D有连续的二阶偏导数,求证:

(Ⅲ)设u(x,y)在D有连续的二阶偏导数且满足

求证:u(x,y)=0((x,y)∈D).

选项

答案(Ⅰ)将格林公式 [*]=Pdx+Qdy 中Q换成P,P换成一Q,得 [*]=∫CPdy—Qdx. 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos<τ,j>一Qcos<τ,i>]ds, 其中τ是C的单位切向量且沿C的方向.注意<τ,j>=,<τ,i>=π一. 于是Pdy—Qdx=∫C[Pcos+Qcos]ds=fc(Pcosα+Qcosβ)ds. 因此证得结论. (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*]. 再由格林公式的另一种形式(即题(Ⅰ)的结论)得 [*] 再移项即得证. (Ⅲ)因u(x,y)|C=0,要证u(x,y)≡0((x,y)∈D),只需证[*]=0((x,y)∈D).在(10.7) 式中取v(x,y)=u(x,y),得 [*]

解析
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