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  3. 已知anxn的收敛半径R=R0＞0，求证：级数an／n!xn的收敛域为(－∞，+∞)．

已知anxn的收敛半径R=R0＞0，求证：级数an／n!xn的收敛域为(－∞，+∞)．

admin2019-05-14  46
问题 已知anxn的收敛半径R=R0＞0，求证：级数an／n!xn的收敛域为(－∞，+∞)．
选项
答案即证[*]，幂级数[*]an／n!xn均收敛．任取|x0|＜R0，x0≠0，考察|an／n!xn|与|anx0n|的关系并利用比较判别法． [*] 有界，即1／n!|x／x0|n≤M(n=0，1，2，…)，M＞0为某常数，于是 |an／n!xn|≤M|anx0n|． 由幂级数在收敛区间内绝对收敛[*]|anx0n|收敛． [*] 因此，原幂级数的收敛域为(－∞，+∞)．
解析
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考研数学一

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