2. 考研
  3. 已知y1*(x)=xe—x+e—2x，y2*(x)=xe—x+xe—2x，y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解． 求这个方程和它的通解．

已知y1*(x)=xe—x+e—2x，y2*(x)=xe—x+xe—2x，y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解． 求这个方程和它的通解．

admin2019-01-29  106
问题 已知y1*(x)=xe—x+e—2x，y2*(x)=xe—x+xe—2x，y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解．
求这个方程和它的通解．
选项
答案由线性方程解的叠加原理 y1(x) =y3*(x)—y2*(x)=e—2x， y2(x) =y3*(x)—y1*(x)=xe—2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ= —2，相应的特征方程为 (λ+2)2=0， 即 λ2+4λ+4=0． 原方程为 y″+4y′+4y=f(x)． ① 由于y*(x)=xe—x是它的特解，求导得 y*′(x) =e—x(1—x)， y*″(x) =e—x(x—2)． 代入方程①得 e—x(x—2)+4e—x(1—x)+4xe—x=f(x) f(x)=(x+2)e—x 原方程为y″+4y′+4y=(x+2)e—x，其通解为 y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为[*]常数．
解析
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考研数学二

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