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已知y1*(x)=xe—x+e—2x,y2*(x)=xe—x+xe—2x,y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解. 求这个方程和它的通解.
已知y1*(x)=xe—x+e—2x,y2*(x)=xe—x+xe—2x,y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解. 求这个方程和它的通解.
admin
2019-01-29
115
问题
已知y
1
*
(x)=xe
—x
+e
—2x
,y
2
*
(x)=xe
—x
+xe
—2x
,y
3
*
(x)=xe
—x
+e
—2x
+xe
—2x
是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解.
求这个方程和它的通解.
选项
答案
由线性方程解的叠加原理 y
1
(x) =y
3
*
(x)—y
2
*
(x)=e
—2x
, y
2
(x) =y
3
*
(x)—y
1
*
(x)=xe
—2x
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是重根λ= —2,相应的特征方程为 (λ+2)
2
=0, 即 λ
2
+4λ+4=0. 原方程为 y″+4y′+4y=f(x). ① 由于y
*
(x)=xe
—x
是它的特解,求导得 y
*
′(x) =e
—x
(1—x), y
*
″(x) =e
—x
(x—2). 代入方程①得 e
—x
(x—2)+4e
—x
(1—x)+4xe
—x
=f(x) f(x)=(x+2)e
—x
原方程为y″+4y′+4y=(x+2)e
—x
,其通解为 y=C
1
e
—2x
+C
2
xe
—2x
+xe
—x
,其中C
1
,C
2
为[*]常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kwj4777K
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