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设P(χ),q(χ),f(χ)均是关于χ的连续函数,y1(χ),y2(χ),y3(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的3个线性无关的解,C1与C2是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
设P(χ),q(χ),f(χ)均是关于χ的连续函数,y1(χ),y2(χ),y3(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的3个线性无关的解,C1与C2是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
admin
2017-11-30
55
问题
设P(χ),q(χ),f(χ)均是关于χ的连续函数,y
1
(χ),y
2
(χ),y
3
(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的3个线性无关的解,C
1
与C
2
是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
选项
A、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(1-C
2
)y
3
B、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(C
1
-C
2
)y
3
C、C
1
y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(1-C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(C
1
-C
2
)y
3
答案
C
解析
将选项C改写为C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
。作为非齐次方程的解,只需要满足C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)是对应的齐次方程组的通解,因此只需要证明(y
1
-y
2
)与(y
2
-y
3
)线性无关即可。
假设(y
1
-y
2
)与(y
2
-y
3
)线性相关,即存在不全为零的数k
1
和k
2
使得
k
1
(y
1
-y
2
)+k
2
(y
2
-y
3
)=0,
即k
1
y
1
+(k
2
-k
1
)y
2
-k
2
y
3
=0。
由于y
1
,y
2
,y
3
线性无关,则根据上式可得k
1
=k
2
=0,与k
1
和k
2
不全为零矛盾,因此(y
1
-y
2
)与(y
2
-y
3
)线性无关,可见选项C是非齐次微分方程的通解。故选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kyr4777K
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