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设P(χ)，q(χ)，f(χ)均是关于χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
设P(χ)，q(χ)，f(χ)均是关于χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
admin
2017-11-30
53
问题
设P(χ)，q(χ)，f(χ)均是关于χ的连续函数，y
1
(χ)，y
2
(χ)，y
3
(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的3个线性无关的解，C
1
与C
2
是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
选项
A、(C
1
＋C
2
)y
1
＋(C
2
－C
1
)y
2
＋(1－C
2
)y
3
B、(C
1
＋C
2
)y
1
＋(C
2
－C
1
)y
2
＋(C
1
－C
2
)y
3
C、C
1
y
1
＋(C
2
－C
1
)y
2
＋(1－C
2
)y
3
D、C
1
y
1
＋(C
2
－C
1
)y
2
＋(C
1
－C
2
)y
3
答案
C
解析
将选项C改写为C
1
(y
1
－y
2
)＋C
2
(y
2
－y
3
)＋y
3
。作为非齐次方程的解，只需要满足C
1
(y
1
－y
2
)＋C
2
(y
2
－y
3
)是对应的齐次方程组的通解，因此只需要证明(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性无关即可。
假设(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性相关，即存在不全为零的数k
1
和k
2
使得
k
1
(y
1
－y
2
)＋k
2
(y
2
－y
3
)＝0，
即k
1
y
1
＋(k
2
－k
1
)y
2
－k
2
y
3
＝0。
由于y
1
，y
2
，y
3
线性无关，则根据上式可得k
1
＝k
2
＝0，与k
1
和k
2
不全为零矛盾，因此(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性无关，可见选项C是非齐次微分方程的通解。故选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kyr4777K
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