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(2002年试题,十一)已知A,B为三阶矩阵,且满足2A-1B=B-4E,其中E是三阶单位矩阵. (1)证明:矩阵A-2E可逆; (2)若求矩阵A.
(2002年试题,十一)已知A,B为三阶矩阵,且满足2A-1B=B-4E,其中E是三阶单位矩阵. (1)证明:矩阵A-2E可逆; (2)若求矩阵A.
admin
2013-12-18
111
问题
(2002年试题,十一)已知A,B为三阶矩阵,且满足2A
-1
B=B-4E,其中E是三阶单位矩阵.
(1)证明:矩阵A-2E可逆;
(2)若
求矩阵A.
选项
答案
由题设,2A
-1
B=B一4E→2A
-1
B=AB一4A→AB一2B=4A→(A一2E)B=4A一8E+8E→(A一2E)B=4(A一2E)+8E→(A一2E)(B一4E)=8E→(A一2E)[*](B一4E)=E因此A-2E可逆,且(A一2E)
-1
=[*]同时A=2E+8(B-4E)
-1
,由已知[*]则[*]且(B一4E)
-1
可求初等行变换求得为[*]所以[*]
解析
证明矩阵可逆的方法有n阶矩阵A可逆
=P
1
P
2
……P
s
,其中只为初等矩
阵营齐次方程组Ax=0只有零解
,非齐次方程组Ax=b总有唯一解
A的特征值全不为0,如果在已知一矩阵等式的情况下,讨论矩阵的可逆性问题,一般应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L134777K
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考研数学二
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