(2002年试题，十一)已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵． (1)证明：矩阵A-2E可逆； (2)若求矩阵A．

admin2013-12-18 143

问题 (2002年试题，十一)已知A，B为三阶矩阵，且满足2A^-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵．
(1)证明：矩阵A-2E可逆；
(2)若

求矩阵A．

选项

答案由题设，2A^-1B=B一4E→2A^-1B=AB一4A→AB一2B=4A→(A一2E)B=4A一8E+8E→(A一2E)B=4(A一2E)+8E→(A一2E)(B一4E)=8E→(A一2E)[*](B一4E)=E因此A-2E可逆，且(A一2E)^-1=[*]同时A=2E+8(B-4E)^-1，由已知[*]则[*]且(B一4E)^-1可求初等行变换求得为[*]所以[*]

解析证明矩阵可逆的方法有n阶矩阵A可逆

=P₁P₂……P_s，其中只为初等矩

阵营齐次方程组Ax=0只有零解

，非齐次方程组Ax=b总有唯一解

A的特征值全不为0，如果在已知一矩阵等式的情况下，讨论矩阵的可逆性问题，一般应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析．

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考研数学二

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