下列结论正确的是 ( )

admin2019-02-23 82

问题下列结论正确的是 ( )

选项 A、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续
B、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续
D、x=f(z，y)在点(x₀，y₀)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内两个偏导数有界

答案C

解析二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x₀，y₀)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有
f_x’｜(x，y)｜≤M，｜f_y’(x，y)｜≤M(M为正常数)．
由微分中值定理有
｜f(x，y)－f(x₀，y₀)｜≤｜f(x，y)－f(x，y₀)｜+｜f(x，y₀)－f(x₀，y₀)｜
=｜f_y’(x，y₀+θ₁△y).△y｜+｜f_x’(x₀+θ₂△x，y₀).△x｜
≤M(｜△x｜+｜△y｜)，
其中△x=x－x₀，△y=y－y₀，θ＜θ₁，θ₂＜1．
所以当

时，有△x→0，△y→0，必有
｜f(x，y)－f(x₀，y₀)｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)→0，
故f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续．

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考研数学一

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