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考研
下列结论正确的是 ( )
下列结论正确的是 ( )
admin
2019-02-23
72
问题
下列结论正确的是 ( )
选项
A、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续
B、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续
D、x=f(z，y)在点(x
0
，y
0
)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)某邻域内两个偏导数有界
答案
C
解析
二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x
0
，y
0
)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有
f
x
’｜(x，y)｜≤M，｜f
y
’(x，y)｜≤M(M为正常数)．
由微分中值定理有
｜f(x，y)－f(x
0
，y
0
)｜≤｜f(x，y)－f(x，y
0
)｜+｜f(x，y
0
)－f(x
0
，y
0
)｜
=｜f
y
’(x，y
0
+θ
1
△y).△y｜+｜f
x
’(x
0
+θ
2
△x，y
0
).△x｜
≤M(｜△x｜+｜△y｜)，
其中△x=x－x
0
，△y=y－y
0
，θ＜θ
1
，θ
2
＜1．
所以当
时，有△x→0，△y→0，必有
｜f(x，y)－f(x
0
，y
0
)｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)→0，
故f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L204777K
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