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  3. (2002年试题，十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0f’(0)≠0，fn(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0加时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．

(2002年试题，十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0f’(0)≠0，fn(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0加时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．

admin2021-01-19  108
问题 (2002年试题，十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0f’(0)≠0，fn(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0加时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．
选项
答案首先明确高阶无穷小的定义，即若f(x)是x2的高阶无穷小，则当且仅当[*][*]由题设，欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ2f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)=0，即λ1f(0)+λ2f(0)+λ3f(0)一f(0)=0，由已知f(0)≠0，因此λ1+λ2+λ3-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，从而可利用洛必达法则，由(1)式，[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf’(h)+2λ2f’(2h)+3λf’(3h)=0，即λ1f’(0)+2λ2f’(0)+3λ3f’(0)=0由已知f’(0)≠0，所以λ1+2λ2+3λ3=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则，有[*]同理，由f’(0)=0，知λ1+4λ2+9λ3=0(5)综合(2)，(4)，(5)三式得一关于λ1，λ2，λ3的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解，所以存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3满足题设要求．
解析 本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ1，λ2，λ3的方程组，即由在上式中分别取x=h，2h，3h，则因此λ1f(0)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=(λ1+λ2+λ3-1)f(0)+(λ1+2λ2+3λ3)f’(0)h+(λ1+4λ2+9λ3)f’（0）h2+o(h2)由题设f(0)≠0,f’(0)≠0,fn(0)≠0，则要使上式左边当h→0时为h2的高阶无穷小，必应满足由此同样得到关于λ1，λ2，λ3的方程组。
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考研数学二

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