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(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
admin
2021-01-19
49
问题
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0加时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
选项
答案
首先明确高阶无穷小的定义,即若f(x)是x
2
的高阶无穷小,则当且仅当[*][*]由题设,欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ
2
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)一f(0)=0,即λ
1
f(0)+λ
2
f(0)+λ
3
f(0)一f(0)=0,由已知f(0)≠0,因此λ
1
+λ
2
+λ
3
-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,从而可利用洛必达法则,由(1)式,[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf
’
(h)+2λ2f
’
(2h)+3λf
’
(3h)=0,即λ
1
f
’
(0)+2λ
2
f
’
(0)+3λ
3
f
’
(0)=0由已知f
’
(0)≠0,所以λ
1
+2λ
2
+3λ
3
=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则,有[*]同理,由f
’
(0)=0,知λ
1
+4λ
2
+9λ
3
=0(5)综合(2),(4),(5)三式得一关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解,所以存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
满足题设要求.
解析
本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组,即由
在上式中分别取x=h,2h,3h,则
因此λ
1
f(0)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)=(λ
1
+λ
2
+λ
3
-1)f(0)+(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f
’
(0)h+
(λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f
’
(0)h
2
+o(h
2
)由题设f(0)≠0,f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0,则要使上式左边当h→0时为h
2
的高阶无穷小,必应满足
由此同样得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组。
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