首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
admin
2021-01-19
111
问题
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0加时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
选项
答案
首先明确高阶无穷小的定义,即若f(x)是x
2
的高阶无穷小,则当且仅当[*][*]由题设,欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ
2
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)一f(0)=0,即λ
1
f(0)+λ
2
f(0)+λ
3
f(0)一f(0)=0,由已知f(0)≠0,因此λ
1
+λ
2
+λ
3
-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,从而可利用洛必达法则,由(1)式,[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf
’
(h)+2λ2f
’
(2h)+3λf
’
(3h)=0,即λ
1
f
’
(0)+2λ
2
f
’
(0)+3λ
3
f
’
(0)=0由已知f
’
(0)≠0,所以λ
1
+2λ
2
+3λ
3
=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则,有[*]同理,由f
’
(0)=0,知λ
1
+4λ
2
+9λ
3
=0(5)综合(2),(4),(5)三式得一关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解,所以存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
满足题设要求.
解析
本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组,即由
在上式中分别取x=h,2h,3h,则
因此λ
1
f(0)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)=(λ
1
+λ
2
+λ
3
-1)f(0)+(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f
’
(0)h+
(λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f
’
(0)h
2
+o(h
2
)由题设f(0)≠0,f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0,则要使上式左边当h→0时为h
2
的高阶无穷小,必应满足
由此同样得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L584777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[*]
对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行,然后将第二列的-2倍加到第三列得-E,且|A|>0,则A等于().
[*]
设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对x∈(0,+∞)满足+xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x)。
设exsin2x为某n阶常系数线性齐次微分方程的一个解,则该方程的阶数n至少是__________,该方程为__________.
设f(x)在x=x0的某邻域U内有定义,在x=x0的去心邻域内可导,则下述命题:①f’(x0)存在,则f’(x)也必存在.②设f’(x)存在,则f’(x0)也必存在.③设f’(x0)不存在,则’(x0)也必不存在.④设f’(x)不存在,则’(x0)
(2011年试题,23)设A为三阶实矩阵,A的秩为2,且求A的特征值与特征向量;
(1995年)设f(χ)=,计算∫f0πf(χ)dχ.
(1991年)求
随机试题
某县政府以“振兴本县经济”为由,在土地利用总体规划以外,批准征用农用地15公顷(包括基本农田5公顷),供该县经济开发总公司建设工业园区。对该批准行为的下列表述何者为错误?()
试回答下列交通安全设施工程质量检测评定方面的相关问题。某交通安全设施单位工程各分部工程合格率均满足要求(一般项目大于80%,关键项目大于95%),仅有一分项工程外观质量不满足要求,该单位工程评定为()。
若项目总进度目标不可能实现,则()应提出调整项目总进度目标的建议,并提请项目决策者审议。
乙公司是一家上市公司,适用的企业所得税税率为25%,当年息税前利润为900万元,预计未来年度保持不变。为简化计算,假定净利润全部分配,债务资本的市场价值等于其账面价值,确定债务资本成本时不考虑筹资费用。证券市场平均收益率为12%,无风险收益率为4%,两种不
经济适用住房的利润应控制在()以下。
从完整的问题解决过程来看,最首要的环节是()
税收分配的对象是()。
我国《宪法》明确规定实行依法治国,建设社会主义法治国家。任何组织和个人都要在宪法和法律范围内活动,一切违法行为都应受到法律的追究,法律面前人人平等。这体现了宪法的基本原则是()
已知枚举类型声明语句为:enumCOLOR{WHITE,YELLOW,GREEN=5,RED,BLACK=10};则下列说法中错误的是()。
EndYourBackPainLikeanexpensivebuttemperamentalsportscar,thehumanspinisbeautifullydesignedandmaddeninglyu
最新回复
(
0
)