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  3. 设有定义在(－∞，+∞)上的函数： (A)f(x)= (B)g(x)= (C)h(x)= (D)m(x)= 则 (I)其中在定义域上连续的函数是____________； (II)以x=0为第二类间断点的函数是_________

设有定义在(－∞，+∞)上的函数： (A)f(x)= (B)g(x)= (C)h(x)= (D)m(x)= 则 (I)其中在定义域上连续的函数是____________； (II)以x=0为第二类间断点的函数是_________

admin2017-12-11  24
问题 设有定义在(－∞，+∞)上的函数：
(A)f(x)=      
(B)g(x)=
(C)h(x)=        
(D)m(x)=
则
(I)其中在定义域上连续的函数是____________；
(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．
选项
答案(I)B (Ⅱ)D
解析 (I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．
(Ⅱ)关于(A)：由

x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．
关于(C)：由
e≠h(0)
=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．
已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．
或直接考察(D)．由
=+∞
x=0是m(x)的第二类间断点．
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考研数学一

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