2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得 f″(ξ)－2f′(ξ)+2=0．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得 f″(ξ)－2f′(ξ)+2=0．

admin2019-09-27  48
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得
f″(ξ)－2f′(ξ)+2=0．
选项
答案由[*]=1得f(0)=0，f′(0)=1， 由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)=[*]=1， 令φ(x)=e－2x[f′(x)－1]， 由f′(0)=f′(c)=1得φ(0)=φ(c)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=－2e－2x[f′(x)－1]+e－2xf″(x)=e－2x[f″(x)－2f′(x)+2]， 因为e－2x≠0，所以f″(ξ)－2f′(ξ)+2=0．
解析
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考研数学一

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