2. 考研
  3. [2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．

[2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．

admin2019-04-15  37
问题 [2011年]  设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为(    )．
选项 A、(η2+η3)／2+k1(η2－η1)
B、(η2－η3)／2+k1(η2－η1)
C、(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)
D、(η2－η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)
答案C
解析 解一  仅(C)入选．因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n－秩(A)+1，故3－秩(A)+1≥3，即秩(A)≤1．又秩(A)≥1(如秩(A)=0，则A=0与AX=β≠0矛盾)，故秩(A)=1，所以AX=0的一个基础解系含n－秩(A)=3=1－2个解向量，而η3－η1，η2－η1均为AX=0的非零解，因而它们为AX=0的基础解系．又(η2+η3)／2中的系数1／2+1／2=1．由命题2．4．4．1知，(η2+η3)／1为AX=β的一特解．于是AX=β的通解为
                (η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)．
    解二  由非齐次线性方程组AX=B通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D)．事实上，(B)、(D)中的为AX=0的解，不是AX=B的特解，可排除(B)、(D)．又因AX=0的解η2－η1，η3－η1线性无关，故AX=0的基础解系至少包含2个解向量，从而排除(A)．仅(C)入选．
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考研数学三

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