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[2011年] 设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则AX=β的通解为( ).
[2011年] 设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则AX=β的通解为( ).
admin
2019-04-15
57
问题
[2011年] 设A为4×3矩阵,η
1
,η
2
,η
3
是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解,k
1
,k
2
为任意常数,则AX=β的通解为( ).
选项
A、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
B、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
C、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
D、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
答案
C
解析
解一 仅(C)入选.因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n-秩(A)+1,故3-秩(A)+1≥3,即秩(A)≤1.又秩(A)≥1(如秩(A)=0,则A=0与AX=β≠0矛盾),故秩(A)=1,所以AX=0的一个基础解系含n-秩(A)=3=1-2个解向量,而η
3
-η
1
,η
2
-η
1
均为AX=0的非零解,因而它们为AX=0的基础解系.又(η
2
+η
3
)/2中的系数1/2+1/2=1.由命题2.4.4.1知,(η
2
+η
3
)/1为AX=β的一特解.于是AX=β的通解为
(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
).
解二 由非齐次线性方程组AX=B通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D).事实上,(B)、(D)中的
为AX=0的解,不是AX=B的特解,可排除(B)、(D).又因AX=0的解η
2
-η
1
,η
3
-η
1
线性无关,故AX=0的基础解系至少包含2个解向量,从而排除(A).仅(C)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L7P4777K
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考研数学三
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