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(2009年)若f〞(χ)不变号,且曲线y=f(χ)在点(1,1)处的曲率圆为χ2+y2=2,则函数f(χ)在区间(1,2)内 【 】
(2009年)若f〞(χ)不变号,且曲线y=f(χ)在点(1,1)处的曲率圆为χ2+y2=2,则函数f(χ)在区间(1,2)内 【 】
admin
2016-05-30
23
问题
(2009年)若f〞(χ)不变号,且曲线y=f(χ)在点(1,1)处的曲率圆为χ
2
+y
2
=2,则函数f(χ)在区间(1,2)内 【 】
选项
A、有极值点,无零点.
B、无极值点,有零点.
C、有极值点,有零点.
D、无极值点,无零点.
答案
C
解析
由题设条件知曲线y=f(χ)是凸的,且f〞(χ)<0,曲率半径为
而y′(1)=f′(1)=-1,则y〞(1)=f〞(1)=-2.
由于f〞(χ)<0,则f′(χ)在[1,2]上单调减,从而f′(χ)≤f′(1)<0,从而函数f(χ)在[1,2]上单调减,故该函数没有极值点.
又f(1)=1>0,f(2)-f(1)=f(ξ)(2-1)=f′(ξ)<-1.
则f(2)<-1+f(1)=0,即f(2)<0,所以,函数f(χ)在(1,2)内有唯一零点,故应选B.
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考研数学二
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