[2009年] 已知∫-∞+∞ek∣x∣dx=1，则k=_________．

admin2019-04-05 46

问题 [2009年] 已知∫_-∞^+∞e^k∣x∣dx=1，则k=_________．

选项

答案由于所给反常积分收敛，可用命题1．3．4．1(1)求之．解一由题设知，反常积分∫_-∞^+∞e^k∣x∣dx收敛，而e^k∣x∣为偶函数，由命题1．3．4．1得到 l=∫_-∞^+∞e^k∣x∣dx=2∫₀^+∞e^kxdx=一[*]∫₀^+∞(－kx)⁰e^-(-kx)d(－kx)=一[*]，即k=一2．解二 1=∫_-∞^+∞e^kxdx=2∫₀^+∞e^kxdx (利用命题1．3．4．1(1)) =2[*](e^kb一1)．因极限存在，故k＜0，因而[*]e^kb=0，于是一2／k=1，即k=一2．

解析

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