[2009年] 已知∫-∞+∞ek∣x∣dx=1,则k=_________.

admin2019-04-05  29

问题 [2009年]  已知∫-∞+∞ek∣x∣dx=1,则k=_________.

选项

答案 由于所给反常积分收敛,可用命题1.3.4.1(1)求之. 解一 由题设知,反常积分∫-∞+∞ek∣x∣dx收敛,而ek∣x∣为偶函数,由命题1.3.4.1得到 l=∫-∞+∞ek∣x∣dx=2∫0+∞ekxdx=一[*]∫0+∞(-kx)0e-(-kx)d(-kx)=一[*],即k=一2. 解二 1=∫-∞+∞ekxdx=2∫0+∞ekxdx (利用命题1.3.4.1(1)) =2[*](ekb一1). 因极限存在,故k<0,因而[*]ekb=0,于是一2/k=1,即k=一2.

解析
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