设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且f(x)=a>0,令an=f(k)一∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤an≤f(1).

admin2017-08-31  20

问题 设f(x)在[1,+∞)内可导,f(x)<0且f(x)=a>0,令an=f(k)一∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤an≤f(1).

选项

答案因为f(x)<0,所以f(x)单调减少. 又因为an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]), 所以{an}单调减少. 因为an=[*]∫kk+1[f(k)-f(x)]dx+f(n),而∫kk+1[f(k)一f(x)]dx≥0(k=1,2,…,n一1) 且[*]=a>0,所以存在X>0,当x>X时,f(x)>0. 由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1,+∞)),故an≥f(n)>0,所以[*]存在. 由an=f(1)+[f(2)一∫12f(x)dx]+…+[f(n)-∫n-1nf(x)dx], 而f(k)-∫k-1kf(x)dx≤0(k=2,3,…,n),所以an≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).

解析
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