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设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且f(x)=a>0,令an=f(k)一∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤an≤f(1).
设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0且f(x)=a>0,令an=f(k)一∫1nf(x)dx.证明:{an}收敛且0≤an≤f(1).
admin
2017-08-31
68
问题
设f(x)在[1,+∞)内可导,f
’
(x)<0且
f(x)=a>0,令a
n
=
f(k)一∫
1
n
f(x)dx.证明:{a
n
}收敛且0≤
a
n
≤f(1).
选项
答案
因为f
’
(x)<0,所以f(x)单调减少. 又因为a
n+1
一a
n
=f(n+1)一∫
n
n+1
f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]), 所以{a
n
}单调减少. 因为a
n
=[*]∫
k
k+1
[f(k)-f(x)]dx+f(n),而∫
k
k+1
[f(k)一f(x)]dx≥0(k=1,2,…,n一1) 且[*]=a>0,所以存在X>0,当x>X时,f(x)>0. 由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1,+∞)),故a
n
≥f(n)>0,所以[*]存在. 由a
n
=f(1)+[f(2)一∫
1
2
f(x)dx]+…+[f(n)-∫
n-1
n
f(x)dx], 而f(k)-∫
k-1
k
f(x)dx≤0(k=2,3,…,n),所以a
n
≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).
解析
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考研数学一
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