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设曲面z=f(x,y)二次可微,且≠0,证明:对任给的常数C,f(x,y)=C为一条直线的充要条件是
设曲面z=f(x,y)二次可微,且≠0,证明:对任给的常数C,f(x,y)=C为一条直线的充要条件是
admin
2018-05-25
57
问题
设曲面z=f(x,y)二次可微,且
≠0,证明:对任给的常数C,f(x,y)=C为一条直线的充要条件是
选项
答案
必要性:若f(x,y)=C表示一条直线,则f(x,y)一定是关于x,y的一次式,必有[*]≠0。又因为f(x,y)=C,所以[*],则 [*] 因此可得f"
xx
(f’
y
)
2
—2f’
x
f’
y
f’
xy
+f"
yy
(f’
x
)
2
=0。亦即 [*] 充分性:由(1)和(2)可知[*]=0,因而f(x,y)=C必是关于x,y的一次式,即f(x,y)=C表示一条直线。
解析
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考研数学一
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