设曲面z=f(x，y)二次可微，且≠0，证明：对任给的常数C，f(x，y)=C为一条直线的充要条件是

admin2018-05-25 84

问题设曲面z=f(x，y)二次可微，且

≠0，证明：对任给的常数C，f(x，y)=C为一条直线的充要条件是

选项

答案必要性：若f(x，y)=C表示一条直线，则f(x，y)一定是关于x，y的一次式，必有[*]≠0。又因为f(x，y)=C，所以[*]，则 [*] 因此可得f"_xx(f’_y)²—2f’_xf’_yf’_xy+f"_yy(f’_x)²=0。亦即 [*] 充分性：由(1)和(2)可知[*]=0，因而f(x，y)=C必是关于x，y的一次式，即f(x，y)=C表示一条直线。

解析

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