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设A(2,2),B(1,1),г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(χ),且它与围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫г[πφ(y)cosπχ-2πy]dχ+[φ′(y)sinπχ-2π]dy.
设A(2,2),B(1,1),г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(χ),且它与围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫г[πφ(y)cosπχ-2πy]dχ+[φ′(y)sinπχ-2π]dy.
admin
2016-07-20
73
问题
设A(2,2),B(1,1),г是从点A到点B的线段
下方的一条光滑定向曲线y=y(χ),且它与
围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分
I=∫
г
[πφ(y)cosπχ-2πy]dχ+[φ′(y)sinπχ-2π]dy.
选项
答案
把该曲线积分分成两部分,其中一个积分的被积表达式易求原函数,另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式. [*] 为用格林公式求I
2
,添加辅助线[*].г与[*]围成区域D,并构成D的负向边界,于是 [*] 又[*]的方程:y=χ,χ∈[1,2],则 [*](-2πy)dχ=∫
1
2
-2πχdχ=-πχ
2
|
1
2
=-3π. 因此I
2
=∫
г
(-2πy)dχ=-4π-[*](-2πy)dχ =-4π+3π=-π. 故I=I
1
+I
2
=π. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/f0w4777K
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考研数学一
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