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[2006年] 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．
[2006年] 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．
admin
2019-05-10
58
问题
[2006年] 函数y=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
+xe
x
满足的一个微分方程是( )．
选项
A、y＂－y′－2y=3xe
x
B、y＂－y′－2y=3e
x
C、y＂+y′－2y=3xe
x
D、y＂+y′－2y=3e
x
答案
D
解析
由所给的通解看出特征根，构造出特征方程，写出对应的齐次微分方程．再由通解中的特解xe
x
确定非齐次方程中的自由项．
解一 由Y的结构形式易知，对应的齐次微分方程的特征方程有两个特征根r
1
=l，r
2
=一2，
因而特征方程为(r+2)(r一1)=r
2
+r－2=0，于是对应的齐次方程为y＂+y′－2y=0，排除(A)、(B)．由xe
x
为非齐次方程的特解，易求得非齐次项f(x)=3e
x
．因而仅(D)入选．
解二 先由y=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
+xe
x
，求出y′及y＂：
y′=C
1
e
x
一2C
2
e
-2x
+(x+1)e
x
， y＂=C
1
e
x
+4C
2
e
-2x
+(x+2)e
x
，
则 y＂+y′=2C
1
e
x
+2C
2
e
-2x
+2(x+1)e
x
+e
x
=2(C
1
e
x
+C
2
e
-2x
+xe
x
)+3e
x
=2y+3e
x
，
即y＂+y′一2y=3e
x
．仅(D)入选．
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考研数学二
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