[2006年] 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．

admin2019-05-10 38

问题 [2006年] 函数y=C₁e^x+C₂e^-2x+xe^x满足的一个微分方程是( )．

选项 A、y＂－y′－2y=3xe^x
B、y＂－y′－2y=3e^x
C、y＂+y′－2y=3xe^x
D、y＂+y′－2y=3e^x

答案D

解析  由所给的通解看出特征根，构造出特征方程，写出对应的齐次微分方程．再由通解中的特解xe^x确定非齐次方程中的自由项．
解一  由Y的结构形式易知，对应的齐次微分方程的特征方程有两个特征根r₁=l，r₂=一2，
因而特征方程为(r+2)(r一1)=r²+r－2=0，于是对应的齐次方程为y＂+y′－2y=0，排除(A)、(B)．由xe^x为非齐次方程的特解，易求得非齐次项f(x)=3e^x．因而仅(D)入选．
解二  先由y=C₁e^x+C₂e^-2x+xe^x，求出y′及y＂：
y′=C₁e^x一2C₂e^-2x+(x+1)e^x，  y＂=C₁e^x+4C₂e^-2x+(x+2)e^x，
则  y＂+y′=2C₁e^x+2C₂e^-2x+2(x+1)e^x+e^x=2(C₁e^x+C₂e^-2x+xe^x)+3e^x=2y+3e^x，
即y＂+y′一2y=3e^x．仅(D)入选．

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考研数学二

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