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已知A是3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的解,又(A-6E)α=0,α≠0. 求α和二次型xTAx的表达式;
已知A是3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的解,又(A-6E)α=0,α≠0. 求α和二次型xTAx的表达式;
admin
2020-04-30
50
问题
已知A是3阶实对称矩阵,α
1
=(1,-1,-1)
T
,α
2
=(-2,1,0)
T
是齐次线性方程组Ax=0的解,又(A-6E)α=0,α≠0.
求α和二次型x
T
Ax的表达式;
选项
答案
由Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
,知λ
1
=λ
2
=0是矩阵A的特征值,α
1
,α
2
是矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量.由已知Aα=6α,且α≠0,所以λ
3
=6是A的特征值,设α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,于是 [*] 解得λ
3
=6的一个特征向量为α=(1,2,-1)
T
. 由A(α
1
,α
2
,α)=(0,0,6α),得 [*] 故 f=x
T
Ax=x
2
1
+4x
2
2
+x
2
3
+4x
1
x
2
-2x
1
x
3
-4x
2
x
3
.
解析
本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LQv4777K
0
考研数学一
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