已知非齐次线性方程组，有3个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

admin2019-03-23 44

问题已知非齐次线性方程组

，有3个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁—α₂)=0，A(α₁—α₃)=0，即α₁—α₂，α₁—α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，与假设矛盾。) 所以有n—R(A)≥2，即4—R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]—1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。

解析

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考研数学二

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n维向量α=(a，0，．．．，0，a)T，a＜0，A=E－ααT，A－1=E+α－1ααT，求a．
设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，又α1=(1，2，2)T和α2=(0，2，1)T分别是(A－E)X=0的(A+E)X=0的解．(1)求A的特征值与特征向量．(2)求矩阵A．
下列矩阵中不能相似对角化的是
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，－1，a+2，1)T，η2=(－1，2，4，a+8)T．(1)求(Ⅰ)的一个基础解系；(2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解
，已知线性方程组AX=β存在两个不同的解．①求λ，a．②求AX=β的通解．
设f(x)在[a，b]上可导f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫a-bf(t)dt=0.证明：∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。
设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且．证明：f’(x0)=M．
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