已知非齐次线性方程组，有3个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

admin2019-03-23 61

问题已知非齐次线性方程组

，有3个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁—α₂)=0，A(α₁—α₃)=0，即α₁—α₂，α₁—α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，与假设矛盾。) 所以有n—R(A)≥2，即4—R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]—1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。

解析

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考研数学二

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设f(x)在[a，b]上可导f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫a-bf(t)dt=0.证明：∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。
设f(x)在[a，b]上可导f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫a-bf(t)dt=0.证明：∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；
设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。
记平面区域D={(x，y)|x|+|y|≤1)，计算如下二重积分：(1)其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)，常数λ＞0．
设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．
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