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已知非齐次线性方程组,有3个线性无关的解。 证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。
已知非齐次线性方程组,有3个线性无关的解。 证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。
admin
2019-03-23
73
问题
已知非齐次线性方程组
,有3个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。
选项
答案
设α
1
,α
2
,α
3
是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α
1
—α
2
)=0,A(α
1
—α
3
)=0,即α
1
—α
2
,α
1
—α
3
是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关。(否则,易推出α
1
,α
2
,α
3
线性相关,与假设矛盾。) 所以有n—R(A)≥2,即4—R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]—1≠0,所以R(A)≥2。因此R(A)=2。
解析
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考研数学二
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