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已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,其中α1,α2,α3,α4是4维列向量.若齐次方程组Ax=0的通解是k(1,0,-3,2)T,证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系.
已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,其中α1,α2,α3,α4是4维列向量.若齐次方程组Ax=0的通解是k(1,0,-3,2)T,证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系.
admin
2015-05-07
41
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)是4阶矩阵,其中α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是4维列向量.若齐次方程组Ax=0的通解是k(1,0,-3,2)
T
,证明α
2
,α
3
,α
4
是齐次方程组A
*
x=0的基础解系.
选项
答案
由解的结构知n-r(A)=1,故秩r(A)=3. 又由[*]=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]=0,得α
1
-3α
3
+2α
4
=0. 因A
*
A=|A|E=0,即A
*
(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=0,故α
2
,α
3
,α
4
都是A
*
x=0的解. 由α
1
=3α
3
-2α
4
与r(A)=3有A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=(3α
3
-2α
4
,α
2
,α
3
,α
4
)→(0, α
2
,α
3
,α
4
),可知α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 由r(A)=3得r(A
*
)=1,那么n-r(A
*
)=3. 综上可知,α
2
,α
3
,α
4
是A
*
x=0的基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LY54777K
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考研数学一
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