设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组AkX＝0有解向量α，但Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-06-28 85

问题设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组A^kX＝0有解向量α，但A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案设有一组数λ₁，λ₂，…，λ_k，使λ₁α＋λ₂Aα＋…＋λ_kA^k-1α＝0两端左乘A^k-1，得λ₁A^k-1α＝0．因A^k-1α≠0，得λ₁＝0．类似可得λ₂＝…＝λ_k＝0．故α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析

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