设向量组α1，α2，…，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

admin2018-01-26 22

问题设向量组α₁，α₂，…，α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

选项 A、α₁-α₂，α₂-α₃，α₃，α₁。
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁。
C、α₁-2α₂，α₂-2α₃，α₃-2α₁。
D、α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α₁。

答案A

解析用向量组线性相关的定义进行判定。令
x₁(α₁-α₂)+x₂(α₂-α₃)+x₃(α₃-α₁)=0，
得 (x₁-x₃)α₁+(-x₁+x₂)α₂+(-x₂+x₃)α₃=O。
因α₁，α₂，α₃线性无关，所以

因上述方程组系数矩阵的行列式

=0，故上述齐次线性方程组有非零解，即
α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁线性相关。
同理可判断(B)、(C)、(D)中的向量组都是线性无关的。

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