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  3. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3，α4，求线性方程组AX=β的通解．

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3，α4，求线性方程组AX=β的通解．

admin2016-07-22  104
问题 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3，α4，求线性方程组AX=β的通解．
选项
答案方法一 由α1=2α2-α3及α2，α3，α4线性无关知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3．且对应齐次方程组AX=0有通解k[1，-2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即 [α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4][*] 故非齐次方程组有特解η=[1，1，l，1]T，故方程组的通解为k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T． 方法二 [α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4][*] =(2α2-α3)+α2+α3+α4=3α2+α4=[α1，α2，α3，α4][*] 故方程组有两特解η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，3，0，1]T． 对r(A)=3，故方程组的通解为 K(η1-η2)+η1=k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T． 方法三 由AX=[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4，得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4 将α1=2α2-α3代人，整理得 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0， α2，α3，α4线性无关，得 [*] 解方程组，得 [*]，其中k是任意常数．
解析
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考研数学一

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