已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3,α4,求线性方程组AX=β的通解.

admin2016-07-22  58

问题 已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α23,如果β=α123,α4,求线性方程组AX=β的通解.

选项

答案方法一 由α1=2α23及α2,α3,α4线性无关知r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=3.且对应齐次方程组AX=0有通解k[1,-2,1,0]T,又β=α1234,即 [α1,α2,α3,α4]X=β=α1234=[α1,α2,α3,α4][*] 故非齐次方程组有特解η=[1,1,l,1]T,故方程组的通解为k[1,-2,1,0]T+[1,1,1,1]T. 方法二 [α1,α2,α3,α4]X=β=α1234=[α1,α2,α3,α4][*] =(2α23)+α234=3α24=[α1,α2,α3,α4][*] 故方程组有两特解η1=[1,1,1,1]T,η2=[0,3,0,1]T. 对r(A)=3,故方程组的通解为 K(η12)+η1=k[1,-2,1,0]T+[1,1,1,1]T. 方法三 由AX=[α1,α2,α3,α4]X=β=α1234,得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α41234 将α1=2α23代人,整理得 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x33+(x4-1)α4=0, α2,α3,α4线性无关,得 [*] 解方程组,得 [*],其中k是任意常数.

解析
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