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已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3,α4,求线性方程组AX=β的通解.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3,α4,求线性方程组AX=β的通解.
admin
2016-07-22
52
问题
已知4阶方阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
-α
3
,如果β=α
1
+α
2
+α
3
,α
4
,求线性方程组AX=β的通解.
选项
答案
方法一 由α
1
=2α
2
-α
3
及α
2
,α
3
,α
4
线性无关知r(A)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3.且对应齐次方程组AX=0有通解k[1,-2,1,0]
T
,又β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,即 [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
][*] 故非齐次方程组有特解η=[1,1,l,1]
T
,故方程组的通解为k[1,-2,1,0]
T
+[1,1,1,1]
T
. 方法二 [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
][*] =(2α
2
-α
3
)+α
2
+α
3
+α
4
=3α
2
+α
4
=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
][*] 故方程组有两特解η
1
=[1,1,1,1]
T
,η
2
=[0,3,0,1]
T
. 对r(A)=3,故方程组的通解为 K(η
1
-η
2
)+η
1
=k[1,-2,1,0]
T
+[1,1,1,1]
T
. 方法三 由AX=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
-α
3
代人,整理得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0, α
2
,α
3
,α
4
线性无关,得 [*] 解方程组,得 [*],其中k是任意常数.
解析
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考研数学一
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