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设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
admin
2021-02-25
49
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Py下的标准形为2y
2
1
+y
2
2
-y
2
3
，其中P=(e
1
，e
2
，e
3
)，若Q=(e
1
，-e
3
，e
2
)，则f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
选项
A、2y
2
1
-y
2
2
+y
2
3
B、2y
2
1
+y
2
2
-y
2
3
C、2y
2
1
-y
2
2
-y
2
3
D、2y
2
1
+y
2
2
+y
2
3
答案
A
解析
本题考查正交变换化二次型为标准形的有关理论，所涉及的知识点是：任给一个二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax，总存在一个正交变换x=Py将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax化为标准形，其标准形的系数是A的特征值；标准形的系数即A的特征值的顺序与正交矩阵P中对应的列的顺序即A的特征值的所对应的特征向量的顺序一致．
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵为A，正交矩阵P=(e
1
，e
2
，e
3
)，则f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为2y
2
1
+y
2
2
-y
2
3
，即
若Q=(e
1
，-e
3
，e
2
)，则
所以f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为2y
2
1
-y
2
2
+y
2
3
．故应选A．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Le84777K
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