设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

admin2021-11-15 59

问题设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A^k=0．证明：A不可以对角化．

选项

答案方法一令AX=λX(X≠0)，则有A_kX=λ_kX，因为A^k=0，所以λ^kX=0，注意到X≠0，故λ^k=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(OE-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．方法二设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得 P_-1AP=[*] 从而有λ₁=λ₂=…=λ_n=0，于是P^-1AP=0，进一步得A=0，矛盾，所以矩阵A不可以对角化．

解析

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