设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

admin2021-11-15 15

问题设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A^k=0．证明：A不可以对角化．

选项

答案方法一令AX=λX(X≠0)，则有A_kX=λ_kX，因为A^k=0，所以λ^kX=0，注意到X≠0，故λ^k=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(OE-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．方法二设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得 P_-1AP=[*] 从而有λ₁=λ₂=…=λ_n=0，于是P^-1AP=0，进一步得A=0，矛盾，所以矩阵A不可以对角化．

解析

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考研数学二

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=_________.
设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a)=0,证明：.
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=_________.
设函数f(x)在[0,+∞)内可导，f(0)=1,且f’(x)+f(x)-=0.求f’(x).
对二元函数z=f(x,y)，下列结论正确的是（）。
设齐次线性方程组其中ab≠0,n≥2,讨论a,b取何值时，方程组只有零解，有无穷多个解？在有无穷多个解时，求出其通解。
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（）。
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