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设向量组α1，α2，…，αm(m＞1)线性无关，且β=α1+α2+…+αm，证明：β-α1，β-α2，…，β-αm线性无关．
设向量组α1，α2，…，αm(m＞1)线性无关，且β=α1+α2+…+αm，证明：β-α1，β-α2，…，β-αm线性无关．
admin
2021-02-25
62
问题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
m
(m＞1)线性无关，且β=α
1
+α
2
+…+α
m
，证明：β-α
1
，β-α
2
，…，β-α
m
线性无关．
选项
答案
设有数组λ
1
，λ
2
，…，λ
m
，使 λ
1
(β-α
1
)+λ
2
(β-α
2
)+…+λ
m
(β-α
m
)=0， 即 (λ
2
+λ
3
+…+λ
m
)α
1
+(λ
1
+λ
3
+…+λ
m
)α
m
+…+(λ
1
+λ
2
+…+λ
m-1
)α
m
=0， 由于α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，所以有 [*] 由于方程组的系数行列式 [*] 所以方程组只有零解，即λ
1
=λ
2
=…=λ
m
=0，故β-α
1
，β-α
2
，…，β-α
m
线性无关．
解析
本题考查向量组线性相关性的概念及判定．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Li84777K
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考研数学二
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