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设向量组α1,α2,…,αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+…+αm,证明:β-α1,β-α2,…,β-αm线性无关.
设向量组α1,α2,…,αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+…+αm,证明:β-α1,β-α2,…,β-αm线性无关.
admin
2021-02-25
39
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
m
(m>1)线性无关,且β=α
1
+α
2
+…+α
m
,证明:β-α
1
,β-α
2
,…,β-α
m
线性无关.
选项
答案
设有数组λ
1
,λ
2
,…,λ
m
,使 λ
1
(β-α
1
)+λ
2
(β-α
2
)+…+λ
m
(β-α
m
)=0, 即 (λ
2
+λ
3
+…+λ
m
)α
1
+(λ
1
+λ
3
+…+λ
m
)α
m
+…+(λ
1
+λ
2
+…+λ
m-1
)α
m
=0, 由于α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,所以有 [*] 由于方程组的系数行列式 [*] 所以方程组只有零解,即λ
1
=λ
2
=…=λ
m
=0,故β-α
1
,β-α
2
,…,β-α
m
线性无关.
解析
本题考查向量组线性相关性的概念及判定.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Li84777K
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考研数学二
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