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  3. 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P使P-1AP=A．

设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P使P-1AP=A．

admin2019-02-23  61
问题 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P使P-1AP=A．
选项
答案先求A的特征值． 方法一 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=ααTξ=λξ． ① 若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0； 若αTξ≠0，①式两端左边乘αT，则 αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)． 因αTξ≠0，故[*] 方法二 利用[*]及特征值定义． ①式两端左边乘A，得 [*] 方法三 利用[*]及特征方程|λE-A|=0． 因[*]两边取行列式 [*] 得A的特征值λ=0或[*] 方法四 直接用A的特征方程 [*] 得A的特征值为[*]λ=0(n-1重根). 再求A的对应于λ的特征向量． 方法一 当λ=0时 [*] 即解方程 a1x1+a2x2+…+anxn=0， 得特征向量为(设a1≠0)． ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T，ξ2=[a3，0，一a1，…，0]T，…，ξn-1=[an，0，0，…，一a1]T． 当[*]时 [*] 由观察知ξn=[a1，a2，…，an]T． 方法二 因为A=ααT，λ=0时，(λE-A)X=一ααTX=0，因为满足aTX=0的X必满足ααTX=0，故λ=0时，对应的特征方程是a1x1+a2x2+…+anxn=0．对应λ=0的n一1个特征向量为 ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T，ξ2=[a3，0，一a1，…，0]T，…，ξn-1=[an，0，…，一a1]T． [*]时，对矩阵λE一A=αTαE一ααT两端右边乘α，得 (λE-A)α=(αTαE-ααT)α=(αTα)α-α(αTα)=0， 故知α=[a1，a2，…，an]T即是所求ξn． 最后由ξ1ξ2，…，ξn，得可逆矩阵P，即 [*] 且 [*]
解析
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考研数学二

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