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设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P使P-1AP=A.
设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P使P-1AP=A.
admin
2019-02-23
57
问题
设α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
≠0,A=αα
T
,求可逆矩阵P使P
-1
AP=A.
选项
答案
先求A的特征值. 方法一 利用特征值的定义. 设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=αα
T
ξ=λξ. ① 若α
T
ξ=0,则λξ=0,ξ≠0,故λ=0; 若α
T
ξ≠0,①式两端左边乘α
T
,则 α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ). 因α
T
ξ≠0,故[*] 方法二 利用[*]及特征值定义. ①式两端左边乘A,得 [*] 方法三 利用[*]及特征方程|λE-A|=0. 因[*]两边取行列式 [*] 得A的特征值λ=0或[*] 方法四 直接用A的特征方程 [*] 得A的特征值为[*]λ=0(n-1重根). 再求A的对应于λ的特征向量. 方法一 当λ=0时 [*] 即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0, 得特征向量为(设a
1
≠0). ξ
1
=[a
2
,一a
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
=[a
3
,0,一a
1
,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[a
n
,0,0,…,一a
1
]
T
. 当[*]时 [*] 由观察知ξ
n
=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
. 方法二 因为A=αα
T
,λ=0时,(λE-A)X=一αα
T
X=0,因为满足a
T
X=0的X必满足αα
T
X=0,故λ=0时,对应的特征方程是a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0.对应λ=0的n一1个特征向量为 ξ
1
=[a
2
,一a
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
=[a
3
,0,一a
1
,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[a
n
,0,…,一a
1
]
T
. [*]时,对矩阵λE一A=α
T
αE一αα
T
两端右边乘α,得 (λE-A)α=(α
T
αE-αα
T
)α=(α
T
α)α-α(α
T
α)=0, 故知α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
即是所求ξ
n
. 最后由ξ
1
ξ
2
,…,ξ
n
,得可逆矩阵P,即 [*] 且 [*]
解析
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考研数学二
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